Operaciones Fundamentales Numeros Complejos

Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Demostración:

Tomando : z = a + bi y z' = c + di

Se obtiene:

a + bi y ' = c - di

Con lo que:

(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di

Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i

Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado.

Esto equivale a que:

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a

(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2

Complejo opuesto

Dado un número complejo (x,y) el complejo opuesto sería (-x,-y)

Si al número complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representa por n'.

Si z = a +bi

El opuesto de z seria -z = -a - b

El Conjugado de z seria z = a + bi

Operaciones con Números Complejos

Suma de Números Complejos

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la Suma de Números Complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i

(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i

· Asociativa

Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i

(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

 

· Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):

(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0

Ejemplo:

El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0

Producto de Números Complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores.

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:

(a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i

El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i 2 = -1.

(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i (ad + bc)

Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.

Propiedades del Producto de Complejos

· Conmutativa

Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:

(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )

· Asociativa

Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:

[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

· Elemento neutro

El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro es el uno.

· Distributiva del producto con respecto a la suma

Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:

(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi )

Ejemplo:

(1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i

(1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) = (3i + 6) + (-12 - 11i )

= - 6 - 8i

El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.

El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).

· Elemento simétrico respecto del producto

Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de 0 + 0i , existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i .

Demostración:

Se intentará calcular el inverso de a + bi , x + yi .

Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i

(a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)I

Por tanto ha de ser:

ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a2x - aby = a

bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = 0

El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.

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